Question

已知在数列{a_n}中，a1=

1

2

，S_n是其前n项和，且Sn=n2an-n(n-1)．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）令bn=(

1

2

)n+1-an，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜2．

Answer 1

分析：（1）由a_n=S_n-S_n-1 （n≥2），结合条件可得{

n+1

n

Sn}是首项为1，公差为1的等差数列，求出S_n=

n2

n+1

，即可求{a_n}的通项公式；
（2）求得数列{b_n}的通项，分组求和，即可证得结论．

解答：（1）解：∵a_n=S_n-S_n-1 （n≥2），S_n=n²a_n-n（n-1）
∴S_n=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1），即（n²-1 ）S_n-n²S_n-1=n（n-1），
∴

n+1

n

Sn-

n

n-1

Sn-1=1，∴{

n+1

n

Sn}是首项为1，公差为1的等差数列
∴

n+1

n

Sn=1+（n-1）×1=n，∴S_n=

n2

n+1

∵Sn=n2an-n(n-1)
∴

n2

n+1

=n2an-n(n-1)
∴a_n=1-

1

n2+n

；
（2）证明：由（1）知，bn=(

1

2

)n+1-an=(

1

2

)n+

1

n2+n

=(

1

2

)n+

1

n

-

1

n+1

∴T_n=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

2n

+1-

1

n+1

＜2

点评：本题考查数列的递推式，考查等差关系的确定，考查数列求和的方法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．