【题目】某市每年春节前后,由于大量的烟花炮竹的燃放,空气污染较为严重.该市环保研究所对近年春节前后每天的空气污染情况调查研究后发现,每天空气污染的指数.f(t),随时刻t(时)变化的规律满足表达式,其中a为空气治理调节参数,且a∈(0,1).
(1)令,求x的取值范围;
(2)若规定每天中f(t)的最大值作为当天的空气污染指数,要使该市每天的空气污染指数不超过5,试求调节参数a的取值范围.
【答案】(1)[0,1];(2).
【解析】
(1)题根据t的取值范围,及复合函数同增的单调性可得x的取值范围;
(2)题根据第(1)题的提示构造一个函数h(x)=|x-a|+3a+2,然后将绝对值函数转化成分段函数,考虑单调性及最大值的取值,再与5比较,即可得到调节参数a的取值范围.
(1)由题意,0≤t≤24,则1≤t+1≤10,
∴0=lg1≤lg(t+1)≤lg10=1.
故x的取值范围为:[0,1].
(2)由(1),知:
可设
则.
根据一次函数的单调性,很明显h(x)在[0,a)上单调递减,在[a,1]上单调递增.
∴用表示函数的最大值是中最大的值.
∵,
∴,即,
解得0<a≤.
∴a的取值范围为:(0,].
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【题目】某物流公司购买了一块长AM=90米,宽AN=30米的矩形地块AMPN,规划建设占地如图中矩形ABCD的仓库,其余地方为道路和停车场,要求顶点C在地块对角线MN上,B、D分别在边AM、AN上,假设AB长度为x米.若规划建设的仓库是高度与AB的长相同的长方体建筑,问AB长为多少时仓库的库容最大?(墙体及楼板所占空间忽略不计)
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【题目】已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若=12,其中O为坐标原点,求|MN|.
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【题目】已知全集为R,设集合A={x|(x+2)(x-5)≤0},,C={x|a+1≤x≤2a-1}.
(1)求A∩B,(CRA)∪B;
(2)若C(A∩B),求实数a的取值范围.
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【题目】某商品近一个月内(30天)预计日销量(件)与时间t(天)的关系如图1所示,单价(万元/件)与时间t(天)的函数关系如图2所示,(t为整数)
(1)试写出与的解析式;
(2)求此商品日销售额的最大值?
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【题目】如图,等腰梯形中, , 于点, ,且.沿把折起到的位置,使.
()求证: 平面.
()求三棱柱的体积.
()线段上是否存在点,使得平面.若存在,指出点的位置并证明;若不存在,请说明理由.
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【题目】(本小题满分12分)
已知抛物线C的方程C:y2="2" p x(p>0)过点A(1,-2).
(I)求抛物线C的方程,并求其准线方程;
(II)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由。
【答案】(I)抛物线C的方程为,其准线方程为(II)符合题意的直线l 存在,其方程为2x+y-1 =0.
【解析】
试题(Ⅰ)求抛物线标准方程,一般利用待定系数法,只需一个独立条件确定p的值:(-2)2=2p·1,所以p=2.再由抛物线方程确定其准线方程:,(Ⅱ)由题意设:,先由直线OA与的距离等于根据两条平行线距离公式得:解得,再根据直线与抛物线C有公共点确定
试题解析:解 (1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p·1,
所以p=2.
故所求的抛物线C的方程为
其准线方程为.
(2)假设存在符合题意的直线,
其方程为.
由得.
因为直线与抛物线C有公共点,
所以Δ=4+8t≥0,解得.
另一方面,由直线OA到的距离
可得,解得.
因为-1[-,+∞),1∈[-,+∞),
所以符合题意的直线存在,其方程为.
考点:抛物线方程,直线与抛物线位置关系
【名师点睛】求抛物线的标准方程的方法及流程
(1)方法:求抛物线的标准方程常用待定系数法,因为未知数只有p,所以只需一个条件确定p值即可.
(2)流程:因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量.
提醒:求标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m≠0).
【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知椭圆:的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线过椭圆左焦点交椭圆于,为椭圆短轴的上顶点,当直线时,求的面积.
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【题目】一个盒子里装有9个球,其中有4个红球,3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同
从盒子中随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率.
从盒子中随机取出4个球,其中红球个数分别记为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
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