Question

【题目】如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直．EF∥AC，AB= ，CE=EF=1． （Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）设AC于BD交于点G． 因为EF∥AG，且EF=1，AG= AC=1，
所以四边形AGEF为平行四边形，
所以AF∥EG，
因为EG平面BDE，AF平面BDE，
所以AF∥平面BDE．
（Ⅱ）连接FG．因为EF∥CG，EF=CG=1，
且CE=1，所以平行四边形CEFG为菱形．所以CF⊥EG．
因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC．
又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD=AC，
所以BD⊥平面ACEF．
所以CF⊥BD．又BD∩EG=G，
所以CF⊥平面BDE．

【解析】（Ⅰ）证明平面BDE外的直线AF平行平面BDE内的直线GE，即可证明AF∥平面BDE；（Ⅱ）证明CF垂直平面BDF内的两条相交直线：BD、EG，即可证明求CF⊥平面BDF；
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行，以及对直线与平面垂直的判定的理解，了解一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．