Question

设f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，已知对于任意正数x，都有f[f（x）+

1

x

]=

1

f(x)

，求f（1）的值．

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：根据题意，设f（1）=a≠0，对x进行赋值，建立等量关系，根据函数的单调性建立关于a的方程，从而求出a的值．

解答： 解：根据题意，设f（1）=a≠0，
∵f[f（x）+

1

x

]=

1

f(x)

，
∴令x=1，则f[f（1）+1]=

1

f(1)

，即f（a+1）=

1

a

；
再令x=a+1，则f[f（a+1）+

1

a+1

]=

1

f(a+1)

，即f[

1

a

+

1

a+1

]=a=f（1）；
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，∴

1

a

+

1

a+1

=1，
解得a=

1+ 5

2

，或a=

1- 5

2

；
当a=

1- 5

2

时，

1

a

+

1

a+1

＜0，不满足题意，应舍去，
∴f（1）=

1+ 5

2

．

点评：本题考查了根据函数的解析式与单调性求函数值的应用问题，是基础题目．