Question

下列函数中，既是奇函数又在区间（-1，1）上是减函数的是（　　）

• A．y=x³
• B．y=|x-1|
• C．y=tanx
• D．y=lg

  1-x

  1+x

Answer 1

分析：利用函数的奇偶性和单调性即可判断出．

解答：解：A．∵f（-x）=（-x）³=-f（x），∴f（x）在区间（-1，1）上是奇函数，
∵f′（x）=3x²≥0，∴在区间（-1，1）上是增函数，不满足条件．
B．∵f（-x）=|-x-1|=|x+1|≠-f（x），故不是奇函数；
C．∵f（-x）=tan（-x）=-tanx=-f（x），故f（x）在区间（-1，1）上是奇函数，但是y=tanx在区间（-1，1）上是增函数，因此不符合条件；
D．由

1-x

1+x

＞0，化为（x-1）（x+1）＜0，解得-1＜x＜1，可得函数f（x）的定义域为（-1，1）关于原点对称．
又f（-x）=lg

1+x

1-x

=-lg

1-x

1+x

=-f（x），可得f（x）是奇函数．
∵f（x）=lg(

2

1+x

-1)在（-1，1）上是单调递减函数，
∴函数f（x）=lg

1-x

1+x

满足题意．
综上可知：只有D满足题意．
故选D．

点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于中档题．