Question

【题目】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 = ．
（1）求 的值
（2）若cosB= ，b=2，求△ABC的面积S．

Answer 1

【答案】
（1）解：由正弦定理，则 = ，

所以 = ，

即（cosA﹣2cosC）sinB=（2sinC﹣sinA）cosB，化简可得sin（A+B）=2sin（B+C）．

因为A+B+C=π，所以sinC=2sinA．

因此 =2

（2）解：由 =2，得c=2a，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，及cosB= ，b=2，

得4=a2+4a2﹣4a2× ．解得a=1，从而c=2．

因为cosB= ，且sinB= = ，

因此S= acsinB= ×1×2× =

【解析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC=2sinA，即可得解 =2．（2）由正弦定理可求c=2a，由余弦定理解得a=1，从而c=2．利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
【考点精析】利用正弦定理的定义和余弦定理的定义对题目进行判断即可得到答案，需要熟知正弦定理:；余弦定理:;;．