【题目】已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx).
(1)求函数的最大值;
(2)求该函数在区间[]上的单调递增区间.
【答案】(1);(2)[,].
【解析】
(1)利用二倍角的正弦、余弦公式以及辅助角公式,将函数f(x)化为sin(2x)+1的形式,利用三角函数的性质即可求解.
(2)利用正弦函数的单调增区间[2kπ,2kπ],k∈Z,整体代入即可求解.
(1)由题意,
f(x)=2sinx(sinx+cosx)=2sin2x+2sinxcosx
=1﹣cos2x+sin2x
=sin2x﹣cos2x+1
sin(2x)+1.
∴函数f(x)的最大值为1.
(2)由题意,正弦函数的单调递增区间为[2kπ,2kπ],k∈Z.
则有2kπ2x2kπ,k∈Z.
化简,得kπxkπ,k∈Z.
根据题意,x,
∴该函数在区间[]上的单调递增区间为[,].
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【题目】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )
A. 消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B. 以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D. 某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
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【题目】下列有关命题的说法正确的有( )
(1)若p∧q为假命题,则p、q均为假命题;
(2)“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件;
(3)若“p∨q”为假命题,则“¬p∧¬q”为真命题.
(4)命题“若x2﹣3x+2=0,则x=1”的逆否命题为:“若x≠1,则x2﹣3x+2≠0”
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】一般地,对于直线及直线外一点,我们有点到直线的距离公式为:”
(1)证明上述点到直线的距离公式
(2)设直线,试用上述公式求坐标原点到直线距离的最大值及取最大值时的值.
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【题目】为比较甲乙两地某月12时的气温状况,选取该月5天中12时的气温数据(单位:)制成如图所示的茎叶图,考虑以下结论:
①甲地该月12时的平均气温低于乙地该月12时的平均气温;
②甲地该月12时的平均气温高于乙地该月12时的平均气温;
③甲地该月12时的气温的标准差小于乙地该月12时的气温的标准差;
④甲地该月12时的气温的标准差大于乙地该月12时的气温的标准差.
其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( )
A.①③B.②③C.①④D.②④
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【题目】下列说法中正确的是( )
A. “”是“”成立的充分不必要条件
B. 命题,则
C. 为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见,用系统抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本,则分组的组距为40
D. 已知回归直线的斜率的估计值为1.23,样本点的中心为,则回归直线方程为.
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【题目】为降低汽车尾气的排放量,某厂生产甲乙两种不同型号的节排器,分别从甲乙两种节排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测,综合得分情况的频率分布直方图如图所示.
节排器等级及利润如表格表示,其中
综合得分的范围 | 节排器等级 | 节排器利润率 |
一级品 | ||
二级品 | ||
三级品 |
(1)若从这100件甲型号节排器按节排器等级分层抽样的方法抽取10件,再从这10件节排器中随机抽取3件,求至少有2件一级品的概率;
(2)视频率分布直方图中的频率为概率,用样本估计总体,则
①若从乙型号节排器中随机抽取3件,求二级品数的分布列及数学期望;
②从长期来看,骰子哪种型号的节排器平均利润较大?
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【题目】在平面直角坐标系中,椭圆: 的离心率为,焦距为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)如图,动直线: 交椭圆于两点, 是椭圆上一点,直线的斜率为,且, 是线段延长线上一点,且, 的半径为, 是的两条切线,切点分别为.求的最大值,并求取得最大值时直线的斜率.
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