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    【题目】某中学用简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其社会实践次数进行调查，结果如下：

    男同学人数

    7

    15

    11

    12

    2

    1

    女同学人数

    5

    13

    20

    9

    3

    2

    若将社会实践次数不低于12次的学生称为“社会实践标兵”．

    （Ⅰ）将频率视为概率，估计该校1600名学生中“社会实践标兵”有多少人？

    （Ⅱ）从已抽取的8名“社会实践标兵”中随机抽取4位同学参加社会实践表彰活动．

    （i）设为事件“抽取的4位同学中既有男同学又有女同学”，求事件发生的概率；

    （ii）用表示抽取的“社会实践标兵”中男生的人数，求随机变量的分布列和数学期望．

    【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）；（ii）见解析

    【解析】

    （Ⅰ）计算出样本中“社会实践标兵”的频率，从而估计出总体中的人数；（Ⅱ）（i）计算出，利用对立事件概率公式求得结果；（ii）首先确定所有可能的取值，根据超几何分布求解出每个取值对应的概率，从而得到分布列；再根据数学期望计算公式求得结果.

    （Ⅰ）样本中“社会实践标兵”不低于次的学生有人

    该校学生中“社会实践标兵”有：人

    （Ⅱ）名“社会实践标兵”中有男同学人，女同学人

    （i）为“抽取的位同学全是女同学”

    （ii）由题意知：所有可能的取值为：

    ；；

    ；

    则的分布列如下：

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    【题目】在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10件产品中任取3件，求：

    （I） 取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；

    （II） 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。

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    【题目】立德中学和树人中学各派一名学生组成一个联队参加一项智力竞赛，这个智力竞赛一共两轮，在每一轮中，两名同学各回答一次题目，已知，立德中学派出的学生每轮中答对问题的概率都是，树人中学派出的学生每轮中答对问题的概率都是；每轮中，两位同学答对与否互不影响，各论结果亦互不影响，求：

    （Ⅰ）两轮比赛后，立德中学的学生恰比树人中学的学生答对题目的个数多个的概率；

    （Ⅱ）两轮比赛后，记为这两名同学一共答对的题目数，求随机变量的分布列和数学期望．

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    【题目】如图，四边形与均为菱形，，且.

    （Ⅰ）求证：平面；

    （Ⅱ）求二面角的余弦值；

    （Ⅲ）若为线段上的一点，且满足直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.

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    【题目】已知函数，.

    （1）当时，求曲线在点处的切线方程；

    （2）当时，求函数在区间上的最大值和最小值；

    （3）若对任意的，均存在，使得，求的取值范围.

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    【题目】某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是 ，样本数据分组为，．

    （Ⅰ）求直方图中的值；

    （Ⅱ）如果年上缴税收不少于万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；

    （Ⅲ）从企业中任选个，这个企业年上缴税收少于万元的个数记为 ，求的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）

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    【题目】如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面，为的中点，，四边形为矩形，线段交于点.

    （1）求证：平面；

    （2）求二面角的正弦值；

    （3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

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    【题目】已知为单位正方体，黑白两只蚂蚁从点出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”，白蚂蚁爬行的路线是，黑蚂蚁爬行的路线是，它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第段所在直线必须是异面直线（其中是自然数），设黑、白蚂蚁都走完2012段后各停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两只蚂蚁的距离是______________．

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    【题目】教育学家分析发现加强语文阅读理解训练与提高数学应用题得分率有关，某校兴趣小组为了验证这个结论，从该校选择甲乙两个同类班级进行试验，其中甲班加强阅读理解训练，乙班常规教学无额外训练，一段时间后进行数学应用题测试，统计数据情况如下面的列联表（单位：人）

    优秀人数

    非优秀人数

    总计

    甲班

    乙班

    总计

    （1）能否据此判断有把握认为加强语文阅读训练与提高数学应用题得分率有关？

    （2）经过多次测试后，小明正确解答一道数学应用题所用的时间在分钟，小刚正确解答一道数学应用题所用的时间在分钟，现小明、小刚同时独立解答同一道数学应用题，求小刚比小明先正确解答完的概率；

    （3）现从乙班成绩优秀的名同学中任意抽取两人，并对他们的答题情况进行全程研究，记两人中被抽到的人数为，求的分布列及数学期望．

    附表及公式：

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