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设圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1,在满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线ι:x-2y=0的距离最小的圆的方程.

解法一:设圆的圆心为,半径为,则点到轴,轴的距离分别为,.

由题设知圆截轴所得劣弧对的圆心角为，知圆截轴所得的弦长为

故

又圆截轴所得的弦长为2,所以有.从而得.

又点到直线的距离为,

所以,

当且仅当时上式等号成立,此时,从而取得最小值.

由此有

解此方程组得或

由于知于是,所求圆的方程是

,或.

解法二:同解法一得

∴

得 ①

将代入①式,整理得

②

把它看作的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即，得

所以有最小值1，从而有最小值

将其代入②式得.解得.

将代入,得.由得.

综上,,.由知，同号.于是,所求圆的方程是

,或.

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