Question

设x，y，z是正实数，且xyz=1．
证明：

x3

(1+y)(1+z)

+

y3

(1+z)(1+x)

+

z3

(1+x)(1+y)

≥

3

4

．

Answer 1

分析：从不等式的结构可知是轮换式，故可根据均值不等式得：

x3

(1+y)(1+z)

+

1+y

8

+

1+z

8

≥

3x

4

，

y3

(1+z)(1+x)

+

1+x

8

+

1+z

8

≥

3y

4

，

z3

(1+x)(1+y)

+

1+x

8

+

1+y

8

≥

3z

4

，三式相加可证得结论．

解答：证明：根据均值不等式得：

x3

(1+y)(1+z)

+

1+y

8

+

1+z

8

≥

3x

4

①

y3

(1+z)(1+x)

+

1+x

8

+

1+z

8

≥

3y

4

②

z3

(1+x)(1+y)

+

1+x

8

+

1+y

8

≥

3z

4

③
①+②+③得

x3

(1+y)(1+z)

+

y3

(1+z)(1+x)

+

z3

(1+x)(1+y)

≥

x+y+z

2

-

3

4

∵x+y+z≥3

3	xyz

=3
∴

x3

(1+y)(1+z)

+

y3

(1+z)(1+x)

+

z3

(1+x)(1+y)

≥

3

4

点评：本题主要考查了基本不等式的证明，解题的关键利用均值不等式，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．