Question

数列{a_n}中，a₁＝1，a₂＝2，且a_n+2＝(1＋cos²)a_n＋sin²，(n∈N^*)

(1)求a₃，a₄，并求数列{a_n}的通项公式．

(2)设b_n＝，数列{b_n}的前n项和为S_n，证明：当n≥6时，|S_n－2|＜．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)＝2，＝4　2分 　　若n为奇数，设，则＝ 　　则n为奇数时，数列为等差数列，且公差为1，首项为1，则： 　　若n为偶数，设，则＝ 　　则n为偶数时，数列为等比数列，且公比为1，首项为2，则： 　　所以，数列的通项公式为　7分 　　(2)＝，由错位相减法可得：　10分 　　要证当n≥6时，，只需证：n≥6时， 　　设，则 　　所以当n≥6时，数列为递减数列，则n≥6时，，即： 　　所以，当n≥6时，(也可以用数学归纳法等方法证明)　14分