Question

【题目】如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．过B1作l交椭圆于P、Q两点，使PB2垂直QB2，求直线l的方程__________．

Answer 1

【答案】x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0

【解析】

试题分析：设所求椭圆的标准方程为 (a＞b＞0)，右焦点为F2(c,0)．

因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|＝|AB2|，故∠B1AB2为直角，因此|OA|＝|OB2|，得b＝.结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率e＝＝.

在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故

S△AB1B2＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2.

由题设条件S△AB1B2＝4，得b2＝4，从而a2＝5b2＝20.

因此所求椭圆的标准方程为：.

，。由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线的方程为： 。

代入椭圆方程得。

设， ，则 是上面方程的两根，因此，。又，，所以由 ，得 ，即 ，解得。所以满足条件的直线有两条，其方程分别为和。