Question

（2012•安徽模拟）已知函数f（x）=msinx+ncosx，且f(

π

4

)是它的最大值（其中m，n为常数且mn≠0），给出下列命题：
①f(x+

π

4

)是偶函数； ②

m

n

=1； ③函数f（x）的图象关于点(

7π

4

，0)对称；
④f(-

3π

4

)是f（x）的最大值；⑤记函数f（x）的图象在y轴右侧与直线y=

m

2

的交点按横坐标从小到大依次为P₁，P₂，P₃，P₄，…，则|P₂P₄|=π．
其中真命题的是

①②③

．（写出所有正确命题的编号）

Answer 1

分析：由题意可得f（x）=

m2+n2

sin（x+

1

4

π ）对于①，由于 f（x+

1

4

π ）=

m2+n2

cosx，是偶函数；对于②，由tanφ=

n

m

=1，可判断；
对于③，由于当x=

7

4

π 时，f（x）=0，可判断；
对于④，由于 f（-

3

4

π ）=

m2+n2

sin（-

1

2

π）=-

m2+n2

可判断．
对于⑤，函数f（x）的图象即把函数 y=

m2+n2

sinx的图象向左平移

1

4

π个单位得到的，故|P₂P₄|等于一个周期

解答：解：由于函数f（x）=msinx+ncosx=

m2+n2

sin（x+φ），且f（

1

4

π  ）是它的最大值，
∴

1

4

π+φ=2kπ+

1

2

π，k∈z，
∴φ=2kπ+

1

4

π，∴tanφ=

n

m

=1．
∴f（x）=

m2+n2

sin（x+2kπ+

1

4

π ）=

m2+n2

sin（x+

1

4

π ）
对于①，由于 f（x+

1

4

π  ）=

m2+n2

sin（x+

1

2

π ）=cosx，是偶函数，故①正确．
对于②，由tanφ=

n

m

=1，可得②正确．
对于③，由于当x=

7

4

π 时，f（x）=0，故函数f（x）的图象关于点（

7

4

π，0）对称，故③正确．
对于④，由于  f（-

3

4

π ）=

m2+n2

sin（-

1

2

π）=-

m2+n2

是 函数f（x）的最小值，故 ④正确．
对于⑤，函数f（x）的图象即把函数 y=

m2+n2

sinx的图象向左平移

1

4

π个单位得到的，故|P₂P₄|等于一个周期2π，故 ⑤不正确．
 故答案为：①②③

点评：本题考查两角和正弦公式，正弦函数的最值，对称性，奇偶性，函数图象的变换，辅助角公式的应用，是解题的关键．