Question

二面角α-l-β的平面角为120°，在 平面 α内，AB⊥l于B，AB=3，在平面β内，CD⊥l于D，CD=4，BD=5，M是棱l上的一个动点，则AM+CM的最小值为

2

19.24

．

Answer 1

分析：如图所示，①设点M位于BD之间，令BM=x，则DM=5-x．于是AM=

32+x2

，CM=

(5-x)2+42

，
利用基本不等式即可得AM+CM=

9+x2

+

x2-10x+41

≥2

9+x2• x2-10x+41

，当且仅当

9+x2

=

x2-10x+41

，解得x=3.2时取等号．

解答：解：如图所示，①设点M位于BD之间，令BM=x，则DM=5-x．
于是AM=

32+x2

，CM=

(5-x)2+42

，
∴AM+CM=

9+x2

+

x2-10x+41

≥2

9+x2• x2-10x+41

，当且仅当

9+x2

=

x2-10x+41

，解得x=3.2时取等号．
∴AM+CM的最小值为2

9+3．22

=2

19.24

．
②当M位于直线l上除去线段BD时，可得AM+CM＞

32+52

+4，AM+CM＞

42+52

+3，
而

34

+4＞2

19.24

，

41

+3＞2

19.24

，
∴此时AM+CM＞2

19.24

．
综上①②可知：当点M位于BD之间且BM=3.2时，AM+CM取得最小值2

19.24

．
故答案为2

19.24

．

点评：熟练掌握勾股定理和基本不等式、分类讨论思想方法是解题的关键．