Question

已知函数f(x)＝－x³＋3x²＋9x＋a.

(1)求f(x)的单调递减区间；

(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

思路　本题考查多项式的导数公式及运用导数求函数的单调区间和函数的最值，题目中需注意应先比较f(2)和f(－2)的大小，然后判定哪个是最大值从而求出a.

Answer 1

解析　(1)f′(x)＝－3x²＋6x＋9.

令f′(x)<0，解得x<－1或x>3.

∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．

(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，

f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，

∴f(2)>f(－2)．

∵在(－1,3)上f′(x)>0，

∴f(x)在(－1,2]上单调递增．

又由于f(x)在[－2，－1)上单调递减，

∴f(－1)是f(x)的极小值，且f(－1)＝a－5.

∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a＝20，解得a＝－2.

∴f(x)＝－x³＋3x²＋9x－2.

∴f(－1)＝a－5＝－7，

即函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.