Question

20．已知直线l经过A（4，0），B（0，3），求直线l₁的方程，使得：
（Ⅰ）l₁∥l，且经过点C（-1，3）；
（Ⅱ）l₁⊥l，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意得到直线l的方程，设出与l平行的直线l₁的方程，代入点C的坐标求解；
（Ⅱ）设出与l垂直的直线l₁的方程$\frac{x}{3}-\frac{y}{4}=n$，求出直线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式，求出n的值得答案．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，直线l的方程为$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1$，
设直线l₁的方程为$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=m$．
∵直线l₁经过点C（-1，3），
∴$m=\frac{-1}{4}+\frac{3}{3}=\frac{3}{4}$．
故直线l₁的方程为$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=\frac{3}{4}$，即3x+4y-9=0；
（Ⅱ）设直线l₁的方程为$\frac{x}{3}-\frac{y}{4}=n$，
当x=0时，y=-4n；当y=0时，x=3n．
直线l₁与两坐标轴围成的三角形的面积为$S=\frac{1}{2}|3n|•|-4n|=6$，即n²=1．
解得：n=±1．
故直线l₁的方程为$\frac{x}{3}-\frac{y}{4}=±1$，即4x-3y-12=0或4x-3y+12=0．

点评 本题考查直线的一般式方程与直线平行、垂直的关系，由题意灵活设出直线方程是关键，是基础题．