Question

15．如图，以BC为斜边的等腰直角三角形ABC与等边三角形ABD所在平面互相垂直，且点E满足$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$．
（1）求证：平面EBC⊥平面ABC；
（2）求二面角E-AC-B的大小．

Answer 1

分析 （1）取AB中点O，BC中点F，连结OP，OF，以O为原点，OF为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面EBC⊥平面ABC．
（2）求出平面AEC的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角E-AC-B的大小．

解答 证明：（1）∵以BC为斜边的等腰直角三角形ABC与等边三角形ABD所在平面互相垂直，且点E满足$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$，
取AB中点O，BC中点F，连结OP，OF，则OP⊥平面ABC，OF⊥AB，
∴以O为原点，OF为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=2，则E（1，0，$\sqrt{3}$），B（0，1，0），C（2，-1，0），
$\overrightarrow{EB}$=（-1，1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{EC}$=（1，-1，-$\sqrt{3}$），
设平面EBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=-x+y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=x-y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，0），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，
∴平面EBC⊥平面ABC．
解：（2）A（0，-1，0），$\overrightarrow{AE}$=（1，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（2，0，0），
设平面AEC的法向量$\overrightarrow{p}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{AE}=x+y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{AC}=2x=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{p}$=（0，$\sqrt{3}$，-1），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角E-AC-B的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{1}{2}$，∴θ=60°，
∴二面角E-AC-B的大小为60°．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．