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如图,已知圆轴于两点,在圆上运动(不与重合),过作直线垂直于交直线于点

(1)求证:“如果直线过点,那么”为真命题;

(2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.

 

【答案】

(1)证明见解析。

(2)逆命题为:如果,那么直线过点.逆命题也为真命题,

【解析】(1)设,则.当时,直线过点,即.当时,直线过点直线的斜率直线OS的斜率,其方程为,即

.故“如果直线过点,那么”为真命题.

(2)逆命题为:如果,那么直线过点.逆命题也为真命题,以下给出证明:设,则,又.当时,直线的方程为,显然过点;当时,直线OS的斜率直线的方程为,令,得直线过定点.综上,直线恒过定点

 

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知圆C:x2+y2=2与x轴交于A1、A2两点,椭圆E以线段A1A2为长轴,离心率e=
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(Ⅰ)求椭圆E的标准方程;
(Ⅱ)设椭圆E的左焦点为F,点P为圆C上异于A1、A2的动点,过原点O作直线PF的垂线交直线x=-2于点Q,判断直线PQ与圆C的位置关系,并给出证明.

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精英家教网如图,已知圆O:x2+y2=2交x轴于A,B两点,点P(-1,1)为圆O上一点.曲线C是以AB为长轴,离心率为
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的椭圆,点F为其右焦点.过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的右准线l于点Q.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)证明:直线PQ与圆O相切.

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(2013•潍坊一模)如图,已知圆C与y轴相切于点T(0,2),与x轴正半轴相交于两点M,N(点M必在点N的右侧),且|MN|=3,已知椭圆D:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦距等于2|ON|,且过点(
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( I ) 求圆C和椭圆D的方程;
(Ⅱ) 若过点M斜率不为零的直线l与椭圆D交于A、B两点,求证:直线NA与直线NB的倾角互补.

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(2013•潍坊一模)如图,已知圆C与y轴相切于点T(0,2),与x轴正半轴相交于两点M,N(点M必在点N的右侧),且|MN|=3椭圆D:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦距等于2|ON|,且过点(
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)

(I) 求圆C和椭圆D的方程;
(Ⅱ) 设椭圆D与x轴负半轴的交点为P,若过点M的动直线l与椭圆D交于A、B两点,∠ANM=∠BNP是否恒成立?给出你的判断并说明理由.

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