【题目】已知数列{an}为等比数列,其前n项和为Sn , 已知a1+a4=﹣ ,且对于任意的n∈N*有Sn , Sn+2 , Sn+1成等差数列;
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)已知bn=n(n∈N+),记 ,若(n﹣1)2≤m(Tn﹣n﹣1)对于n≥2恒成立,求实数m的范围.
【答案】
(1)解:设等比数列{an}的公比为q,
∵对于任意的n∈N+有Sn,Sn+2,Sn+1成等差,
∴2 .
整理得: .
∵a1≠0,∴,2+2q+2q2=2+q.
∴2q2+q=0,又q≠0,∴q= .
又 ,
把q= 代入后可得 .
所以, ;
(2)解:∵bn=n, ,∴ ,
∴ .
.
∴ =
∴ .
若(n﹣1)2≤m(Tn﹣n﹣1)对于n≥2恒成立,
则(n﹣1)2≤m[(n﹣1)2n+1+2﹣n﹣1]对于n≥2恒成立,
也就是(n﹣1)2≤m(n﹣1)(2n+1﹣1)对于n≥2恒成立,
∴m≥ 对于n≥2恒成立,
令 ,
∵ =
∴f(n)为减函数,∴f(n)≤f(2)= .
∴m .
所以,(n﹣1)2≤m(Tn﹣n﹣1)对于n≥2恒成立的实数m的范围是[ ).
【解析】(1)设出等比数列的公比,利用对于任意的n∈N+有Sn , Sn+2 , Sn+1成等差得2S3=S1+S2 , 代入首项和公比后即可求得公比,再由已知 ,代入公比后可求得首项,则数列{an}的通项公式可求;(2)把(1)中求得的an和已知b
【考点精析】解答此题的关键在于理解等比数列的通项公式(及其变式)的相关知识,掌握通项公式:,以及对数列的前n项和的理解,了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系.
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【题目】已知函数f(x)=x|2x﹣a|,g(x)= (a∈R),若0<a<12,且对任意t∈[3,5],方程f(x)=g(t)在x∈[3,5]总存在两不相等的实数根,求a的取值范围 .
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【题目】已知等差数列{an}满足:a3=4,a5+a7=14,{an}的前n项和为Sn .
(1)求an及Sn;
(2)令bn= (n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn .
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【题目】已知动圆过定点F(0,﹣1),且与直线l:y=1相切,椭圆N的对称轴为坐标轴,O点为坐标原点,F是其一个焦点,又点A(0,2)在椭圆N上.若过F的动直线m交椭圆于B,C点,交轨迹M于D,E两点,设S1为△ABC的面积,S2为△ODE的面积,令Z=S1S2 , Z的最小值是 .
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【题目】设点,动圆经过点且和直线相切,记动圆的圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)设曲线上一点的横坐标为,过的直线交于另一点,交轴于点,过点作的垂线交于另一点.若是的切线,求的最小值.
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.
(1)证明:PA∥平面BDE;
(2)求二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值;
(3)在棱PB上是否存在点F,使PB⊥平面DEF?证明你的结论.
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【题目】已知点A(﹣2,0),B(2,0),C(0,2),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是( )
A.(0, )
B.
C.
D.
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【题目】如图方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为l5,乙组数据的平均数为16.8,则x+y的值为 .
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