Question

已知三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线交于一点或互相平行．

Answer 1

【答案】分析：三个平面两两相交，有三条交线，这三条交线交于一点，或互相平行．证明时要分三条交线交于一点，和三条交线互相平行两种情况；（1）证三线交于一点时，先由两线交于一点，再证这一点也在第三条直线上；（2）证三线平行时，先由两线平行，再证第三条直线与这两条平行线中的任一条直线平行即可．
解答：证明：设三个平面为α，β，γ，
且α∩β=c，α∩γ=b，β∩γ=a；∵α∩β=c，α∩γ=b，∴c?α，b?α；
∴c与b交于一点，或互相平行．
（1）如图①，若c与b交于一点，可设c∩b=P．
由P∈c，且c?β，有P∈β；又由P∈b，b?γ，有P∈γ；∴P∈β∩γ=a；
所以，直线a，b，c交于一点（即P点）．
图①；       图②
（2）如图②，若c∥b，则由b?γ，且c?γ，∴c∥γ；又由c?β，
且β∩γ=a，∴c∥a；所以a，b，c互相平行．
点评：本题考查了空间中的直线平行，或相交的证明，特别是几何符号语言的应用，是有难度的问题．