Question

【题目】数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1﹣an+2． （Ⅰ）设bn=an+1﹣an ， 证明{bn}是等差数列；
（Ⅱ）求{an}的通项公式．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由an+2=2an+1﹣an+2得， an+2﹣an+1=an+1﹣an+2，
由bn=an+1﹣an得，bn+1=bn+2，
即bn+1﹣bn=2，
又b1=a2﹣a1=1，
所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，bn=1+2（n﹣1）=2n﹣1，
由bn=an+1﹣an得，an+1﹣an=2n﹣1，
则a2﹣a1=1，a3﹣a2=3，a4﹣a3=5，…，an﹣an﹣1=2（n﹣1）﹣1，
所以，an﹣a1=1+3+5+…+2（n﹣1）﹣1
= =（n﹣1）2 ，
又a1=1，
所以{an}的通项公式an=（n﹣1）2+1=n2﹣2n+2．
【解析】（Ⅰ）将an+2=2an+1﹣an+2变形为：an+2﹣an+1=an+1﹣an+2，再由条件得bn+1=bn+2，根据条件求出b1 ， 由等差数列的定义证明{bn}是等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的通项公式求出bn ， 代入bn=an+1﹣an并令n从1开始取值，依次得（n﹣1）个式子，然后相加，利用等差数列的前n项和公式求出{an}的通项公式an ．
【考点精析】本题主要考查了等差数列的通项公式（及其变式）和等差关系的确定的相关知识点，需要掌握通项公式：或；如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么这个数列就叫做等差数列才能正确解答此题．