Question

设函数f（x）=

a

•（

b

+

c

），其中向量

a

=（sinx，-cosx），

b

=（sinx，-3cosx），

c

=（-cosx，sinx），x∈R．
（1）求函数的最大值和最小正周期；
（2）求函数的对称轴．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,正弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）根据向量数量积公式和三角恒等变换公式，化简得f（x）=2+

2

cos（2x+

π

4

），再利用三角函数的周期与最值的公式，即可得解．
（2）由2x+

π

4

=kπ，k∈Z可解得故函数的对称轴．

解答： 解：（1）∵向量

a

=（sinx，-cosx），

b

=（sinx，-3cosx），

c

=（-cosx，sinx），
∴f（x）=

a

•（

b

+

c

）=sinx（sinx-cosx）-cosx（-3cosx+sinx）
=1-2sinxcosx+2cos²x
=2-sin2x+cos2x
=2+

2

cos（2x+

π

4

）．
∴f（x）_max=2+

2

，
∴T=

2π

2

=π，
（2）由2x+

π

4

=kπ，k∈Z可解得：x=

kπ

2

-

π

8

，k∈Z．
故函数的对称轴是：x=

kπ

2

-

π

8

，k∈Z．

点评：本题给出向量含有三角函数式的坐标，求三角函数的周期、最值与单调区间．着重考查了向量数量积公式、三角恒等变换公式和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．