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精英家教网如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E是PC的中点.
(1)证明:PA∥平面EDB;
(2)求EB与底面ABCD所成角的正切值;
(3)求二面角E-BD-C的余弦值.
分析:(1)欲证PA∥平面EDB,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PA与平面EDB内一直线平行,连接AC,交BD于O,连接EO,根据中位线定理可知EO∥PA,PA?平面EDB,EO?平面EDB,满足定理所需条件;
(2)作EM⊥DC于M,连接MB,根据线面所成角的定义可知∠EBM是EB与底面ABCD所成的角,而在△EBM中即可求出EB与底面ABCD所成角的正切值;
(3)作EH⊥BD于D,根据二面角平面角的定义可知∠EHM为二面角E-BD-C的平面角,在Rt△EMH中,求出此角的余弦值,即为二面角E-BD-C的余弦值.
解答:精英家教网解:(1)证明:连接AC,交BD于O,连接EO.
则O是AC的中点.∵E是PC的中点,∴EO∥PA
∵PA?平面EDB,EO?平面EDB,∴PA∥平面EDB
(2)在平面PDC中,作EM⊥DC于M,连接MB.
∵侧棱PD⊥底面ABCD,PD?平面PDC,
∴平面PDC⊥底面ABCD.∵EM⊥DC,平面PDC∩平面ABCD=DC
∴EM⊥平面ABCD∴∠EBM是EB与底面ABCD所成的角.
∵PD=2,且EM是△PDC的中位线,∴EM=1
而在直角△BCD中,∠BCD=90°,
BM=
5
tan∠EBM=
EM
MB
=
1
5
=
5
5

即EB与底面ABCD所成角的正切值为
5
5

(3)在平面EDB内,作EH⊥BD于H.
由(2)知,EM⊥平面ABCD,连接MH,则MH⊥BD.
∴∠EHM为二面角E-BD-C的平面角.
在Rt△DMH中,∠DHM=90°,∠CDB=45°,DM=1,
MH=
2
2
.∵EM=1,∴在Rt△EMH中,EH=
6
2

cos∠EHM=
MH
EH
=
3
3

即,二面角E-BD-C的余弦值为
3
3
点评:本题考查直线与平面平行的判定,以及直线与平面所成角和二面角及其度量,考查空间想象能力,逻辑思维能力,计算能力,是中档题.
练习册系列答案
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2
,∠PAB=60°.
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(2)求AE的长;
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(2008•武汉模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,BC∥AD,且∠BAD=90°,又PA⊥底面ABCD,BC=AB=PA=1,AD=2.
(1)求二面角P-CD-A的平面角正切值,
(2)求A到面PCD的距离.

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同步练习册答案
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚敐澶婄闁挎繂鎲涢幘缁樼厱闁靛牆鎳庨顓㈡煛鐏炶鈧繂鐣烽锕€唯闁挎棁濮ら惁搴♀攽閻愬樊鍤熷┑顔炬暬閹虫繃銈i崘銊у幋闂佺懓顕崑娑氱不閻樼粯鈷戠紒瀣皡閺€缁樸亜閵娿儲顥㈡鐐茬墦婵℃瓕顦柛瀣崌濡啫鈽夊▎蹇旀畼闁诲氦顫夊ú鏍ь嚕閸洖绠為柕濞垮労濞撳鎮归崶顏勭处濠㈣娲熷缁樻媴閾忕懓绗℃繛鎾寸椤ㄥ﹤鐣烽弶搴撴婵ê褰夌粭澶娾攽閻愭潙鐏﹂懣銈嗕繆閹绘帞澧涚紒缁樼洴瀹曞崬螣閸濆嫷娼旀俊鐐€曠换鎺楀窗閺嵮屾綎缂備焦蓱婵挳鏌ら幁鎺戝姢闁靛棗锕娲閳哄啰肖缂備胶濮甸幑鍥偘椤旇法鐤€婵炴垶鐟﹀▍銏ゆ⒑鐠恒劌娅愰柟鍑ゆ嫹 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙鍔ょ紓宥咃躬瀵鎮㈤崗灏栨嫽闁诲酣娼ф竟濠偽i鍓х<闁绘劦鍓欓崝銈囩磽瀹ュ拑韬€殿喖顭烽幃銏ゅ礂鐏忔牗瀚介梺璇查叄濞佳勭珶婵犲伣锝夘敊閸撗咃紲闂佺粯鍔﹂崜娆戠矆閸愨斂浜滈柡鍥ф濞层倝鎮″鈧弻鐔告綇妤e啯顎嶉梺绋款儐閸旀瑩寮诲☉妯锋瀻闊浄绲炬晥闂備浇顕栭崰妤呮偡瑜忓Σ鎰板箻鐎涙ê顎撻梺鍛婄箓鐎氱兘鍩€椤掆偓閻倿寮诲☉銏犖╅柕澹啰鍘介柣搴㈩問閸犳牠鈥﹂柨瀣╃箚闁归棿绀侀悡娑㈡煕鐏炲墽鐓紒銊ょ矙濮婄粯鎷呴崨闈涚秺瀵敻顢楅崒婊呯厯闂佺鎻€靛矂寮崒鐐寸叆闁绘洖鍊圭€氾拷