Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点．
（1）证明：PA∥平面EDB；
（2）求EB与底面ABCD所成角的正切值；
（3）求二面角E-BD-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）欲证PA∥平面EDB，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PA与平面EDB内一直线平行，连接AC，交BD于O，连接EO，根据中位线定理可知EO∥PA，PA?平面EDB，EO?平面EDB，满足定理所需条件；
（2）作EM⊥DC于M，连接MB，根据线面所成角的定义可知∠EBM是EB与底面ABCD所成的角，而在△EBM中即可求出EB与底面ABCD所成角的正切值；
（3）作EH⊥BD于D，根据二面角平面角的定义可知∠EHM为二面角E-BD-C的平面角，在Rt△EMH中，求出此角的余弦值，即为二面角E-BD-C的余弦值．

解答：解：（1）证明：连接AC，交BD于O，连接EO．
则O是AC的中点．∵E是PC的中点，∴EO∥PA
∵PA?平面EDB，EO?平面EDB，∴PA∥平面EDB
（2）在平面PDC中，作EM⊥DC于M，连接MB．
∵侧棱PD⊥底面ABCD，PD?平面PDC，
∴平面PDC⊥底面ABCD．∵EM⊥DC，平面PDC∩平面ABCD=DC
∴EM⊥平面ABCD∴∠EBM是EB与底面ABCD所成的角．
∵PD=2，且EM是△PDC的中位线，∴EM=1
而在直角△BCD中，∠BCD=90°，
∴BM=

5

∴tan∠EBM=

EM

MB

=

1

5

=

5

5

，
即EB与底面ABCD所成角的正切值为

5

5

．
（3）在平面EDB内，作EH⊥BD于H．
由（2）知，EM⊥平面ABCD，连接MH，则MH⊥BD．
∴∠EHM为二面角E-BD-C的平面角．
在Rt△DMH中，∠DHM=90°，∠CDB=45°，DM=1，
∴MH=

2

2

．∵EM=1，∴在Rt△EMH中，EH=

6

2

，
∴cos∠EHM=

MH

EH

=

3

3

，
即，二面角E-BD-C的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的判定，以及直线与平面所成角和二面角及其度量，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．