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    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）过点（
    		3
    ，
    		3
    2
    ），椭圆C左右焦点分别为F1，F2，上顶点为E，△EF1F2为等边三角形．定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为N（
    x0
    a
    ，
    y0
    b
    ）．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）若圆C1的方程为（x+2a）2+y2=a2，圆C1和x轴相交于A，B两点，点P为圆C1上不同于A，B的任意一点，直线PA，PB交y轴于S，T两点．当点P变化时，以ST为直径的圆C2是否经过圆C1内一定点？请证明你的结论；
    （Ⅲ）直线l交椭圆C于H、J两点，若点H、J的“伴随点”分别是L、Q，且以LQ为直径的圆经过坐标原点O．椭圆C的右顶点为D，试探究△OHJ的面积与△ODE的面积的大小关系，并证明．
    分析：（Ⅰ）利用椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）过点（
    		3
    ，
    		3
    2
    ），及椭圆几何量的关系，即可求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）确定直线PA，PB的方程，可得S，T两点的坐标．当点P变化时，确定以ST为直径的圆C2的方程，令y=0，求得点的坐标，即可判断否经过圆C1内一定点；
    （Ⅲ）分类讨论，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合以LQ为直径的圆经过坐标原点O可得：3x1x2+4y1y2=0，从而可得△OHJ的面积，由此可得结论．
    解答：解：（Ⅰ）由已知
    3
    a2
    +
    3
    4b2
    =1
    a2=b2+c2
    c
    a
    =
    1
    2
    ，解得a2=4，b2=3，
    ∴方程为
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    …（4分）
    （Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠0），则(x0+4)2+y02=4．
    又A（-6，0），B（-2，0），所以lPA：y=
    y0
    x0+6
    （x+6），S（0，
    6y0
    x0+6
    ），
    lPB：y=
    y0
    x0+2
    （x+1），T（0，
    2y0
    x0+2
    ）．
    圆C2的方程为x2+(y-
    6y0
    x0+6
    +
    2y0
    x0+2
    2
    )2    =(
    6y0
    x0+6
    +
    2y0
    x0+2
    2
    )    2    ．
    化简得x2+y2-（
    6y0
    x0+6
    +
    2y0
    x0+2
    ）y-12=0，
    令y=0，得x=±2
    		3
    ．
    又点（-2
    		3
    ，0），在圆C1内，所以当点P变化时，以ST为直径的圆C2经过圆C1内一定点（-2
    		3
    ，0）…（10分）
    （Ⅲ）设H（x1，y1），J（x2，y2），则L（
    x1
    2
    ，
    y1
    		3
    ），Q（
    x2
    2
    ，
    y2
    		3
    ）；
    1）当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+m，代入椭圆方程可得：（3+4k2）x2+8kmx+4（m2-3）=0；
    有△=48（3+4k2-m2）＞0，x1+x2=
    -8km
    3+4k2
    ，x1x2=
    4(m2-3)
    3+4k2
     ①…（12分）
    由以LQ为直径的圆经过坐标原点O可得：3x1x2+4y1y2=0；
    整理得：(3+4k2)x1x2+4mk(x1+x2)+4m2=0②
    将①式代入②式得：3+4k2=2m2∴△＞0，
    又点O到直线y=kx+m的距离d=
    |m|
    		1+k2

    ∴HJ=
    		1+k2
    |x1-x2|    =
    		1+k2
    •
    4
    		3
    |m|
    2m2

    所以S△OHJ=
    1
    2
    |HJ|d=
    		3
    …（14分）
    2）当直线l的斜率不存在时，设方程为x=m（-2＜m＜2）
    联立椭圆方程得：y2=
    3(4-m2)
    4
    代入3x1x2+4y1y2=0得3m2-
    3(4-m2)
    4
    =0
    ∴m=±
    2
    		5
    5
    ，y=±
    2
    		15
    5

    ∴S△OHJ=
    1
    2
    |HJ|d=
    		3

    综上：△OHJ的面积是定值
    		3

    又△ODE的面积也为
    		3
    ，所以二者相等…（16分）
    点评：本题考查椭圆的方程，考查圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率为
    1
    2
    ，且经过点P(1，
    3
    2
    )    ．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的短轴长为2
    		3
    ，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
    DA
    =λ
    DB
    ，若λ∈[
    3
    8
    ，
    1
    2
    ]，求直线AB的斜率的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）经过点A（1，
    		3
    2
    ），且离心率e=
    		3
    2
    ．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•房山区二模）已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
    1
    2
    ．
    （Ⅰ）求椭圆方程；
    （Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的短轴长为2，离心率为
    		2
    2
    ，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
    AP+BQ
    PQ
    ，若直线l的斜率k≥
    		3
    ，则λ的取值范围为
     
    ．

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