【题目】已知函数.
(1)当时,求的最大值;
(2)若函数有两个零点,求的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)利用导数判别函数的单调性求函数的最值可解决此问题;(2)利用导数判断函数的单调性可解决此问题.
(1)当k=-1时,,=-exx-x=-x(ex+1)
当x<0时,>0,当x>0时,<0,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)在x=0时取到最大值,最大值为f(0)=1.
(2)=kexx-x=x(kex-1),
当k<0时,f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,又因为f(0)=-k>0,,,所以f(x)有两个零点;
当k=0时,,所以此时f(x)只有一个零点;
当k=1时,=exx-x=x(ex-1)≥0,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,f(x)不存在两个零点;
当0<k<1时,,f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,-lnk)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,且f(0)=-k<0,f(x)不存在两个零点;
当k>1时,,f(x)在(-∞,-lnk)上单调递增,在(-lnk,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,且,f(x)不存在两个零点.
综上,当f(x)有两个零点时,k的取值范围是(-∞,0).
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【题目】某市疾控中心流感监测结果显示,自年月起,该市流感活动一度出现上升趋势,尤其是月以来,呈现快速增长态势,截止目前流感病毒活动度仍处于较高水平,为了预防感冒快速扩散,某校医务室采取积极方式,对感染者进行短暂隔离直到康复.假设某班级已知位同学中有位同学被感染,需要通过化验血液来确定感染的同学,血液化验结果呈阳性即为感染,呈阴性即未被感染.下面是两种化验方法: 方案甲:逐个化验,直到能确定感染同学为止;
方案乙:先任取个同学,将它们的血液混在一起化验,若结果呈阳性则表明感染同学为这位中的位,后再逐个化验,直到能确定感染同学为止;若结果呈阴性则在另外位同学中逐个检测;
(1)求依方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率;
(2)表示依方案甲所需化验次数,表示依方案乙所需化验次数,假设每次化验的费用都相同,请从经济角度考虑那种化验方案最佳.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,动点在椭圆上,的周长为6.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆的另一个交点为,过分别作直线的垂线,垂足为与轴的交点为.若四边形的面积是面积的3倍,求直线斜率的取值范围.
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【题目】在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是梯形,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=2,DC=3,平面PDC⊥平面ABCD,E在棱PC上且PE=2EC。
()证明:BE∥平面PAD;
(1)若ΔPDC是正三角形,求三棱锥P-DBE的体积。
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【题目】已知是函数的导函数,且,,则下列说法正确的是___________.
①;
②曲线在处的切线斜率最小;
③函数在存在极大值和极小值;
④在区间上至少有一个零点.
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