Question

已知点H在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线B′D′上，∠HDA=60°．
（Ⅰ）求DH与CC′所成角的大小；
（Ⅱ）求DH与平面AA′D′D所成角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，设H（m，m，1）（m＞0），求出

CC′

、

DH

，利用向量的夹角公式可求DH与CC′所成角的大小；
（Ⅱ）平面AA′D′D的一个法向量为

DC

=（0，1，0），利用向量的夹角公式可求DH与平面AA′D′D所成角的大小．

解答：解：（Ⅰ）建立如图所示的坐标系，设H（m，m，1）（m＞0），则

DA

=（1，0，0），

CC′

=（0，0，1），连接BD，B′D′．
则

DH

=（m，m，1）（m＞0），
由已知＜

DA

，

DH

＞=60°，根据

DA

•

DH

=|

DA

||

DH

|cos＜

DA

，

DH

＞，可得2m=

2m2+1

，解得m=

2

2

，
∴

DH

=（

2

2

，

2

2

，1），
∴cos＜

DA

，

CC′

＞=

2

2

，
∴＜

DA

，

CC′

＞=45°，即DH与CC′所成角的大小为45°；
（Ⅱ）平面AA′D′D的一个法向量为

DC

=（0，1，0），
∴cos＜

DH

，

DC

＞=

0+ 2 2 +0

2

=

1

2

，
∴＜

DH

，

DC

＞=60°，
∴DH与平面AA′D′D所成角的大小为30°．

点评：本题考查向量知识的运用，考查空间角，正确运用向量的夹角公式是关键．