Question

关于函数f（x）=cos（2x-

π

3

）+cos（2x+

π

6

），有下列命题：
①y=f（x）的最大值为

2

；
②y=f（x）是以π为最小正周期的周期函数；
③y=f（x）在区间（

π

24

，

13π

24

）上单调递减；
④将函数y=

2

cos2x的图象向左平移

π

24

个单位后，将与已知函数的图象重合．
其中正确命题的序号是

①②③

．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）

Answer 1

分析：利用两角和差的正余弦公式可把f（x）化为

2

sin(2x+

5π

12

)，进而利用正弦函数的性质即可判断出答案．

解答：解：函数f（x）=cos（2x-

π

3

）+cos（2x+

π

6

）=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+

3

2

cos2x-

1

2

sin2x
=

1+ 3

2

cos2x+

3 -1

2

sin2x=

2

(

6 + 2

4

cos2x+

6 - 2

4

sin2x)=

2

sin(2x+

5π

12

)．
∴函数f（x）的最大值为

2

，因此①正确；
周期T=

2π

2

=π，因此②正确；
当x∈(

π

24

，

13π

24

)时，(2x+

5π

12

)∈(

π

2

，

3π

2

)，因此y=f（x）在区间（

π

24

，

13π

24

）上单调递减，因此③正确；
将函数y=

2

cos2x的图象向左平移

π

24

个单位后，得到y=

2

cos2(x+

π

24

)
=

2

cos(2x+

π

12

)=

2

sin(

π

2

-2x-

π

12

)=-

2

sin(2x-

5π

12

)≠

2

sin(2x+

5π

12

)，因此④不正确．
综上可知：①②③．
故答案为①②③．

点评：熟练掌握两角和差的正余弦公式、正弦函数的性质是解题的关键．