Question

16．已知△ABC三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bcosA+acosB=-4ccosC，且c=$\sqrt{15}$．
（1）求cosC；
（2）求a+b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知和正弦定理结合和差角的三角函数可得cosC=-$\frac{1}{4}$；
（2）由三角形三边关系可得a+b＞c=$\sqrt{15}$，再由余弦定理和基本不等式可得．

解答 解：（1）∵△ABC中bcosA+acosB=-4ccosC，
∴由正弦定理可得sinBcosA+sinAcosB=-4sinCcosC，
∴sin（A+B）=-4sinCcosC，即sinC=-4sinCcosC，
由三角形内角的范围可得sinC≠0，∴cosC=-$\frac{1}{4}$；
（2）由三角形三边关系可得a+b＞c=$\sqrt{15}$，
再由余弦定理可得15=a²+b²-2abcosC
=a²+b²+$\frac{1}{2}$ab=（a+b）²-$\frac{3}{2}$ab，
∴（a+b）²=15+$\frac{3}{2}$ab≤15+$\frac{3}{2}$•（$\frac{a+b}{2}$）²，
解得a+b≤2$\sqrt{6}$，故$\sqrt{15}$＜a+b≤2$\sqrt{6}$

点评 本题考查解三角形，涉及正余弦定理和基本不等式，属中档题．