Question

已知O为坐标原点，A（0，2），B（4，6），

OM

=t₁

OA

+t₂

AB

．
（1）求点M在第二或第三象限的充要条件；
（2）求证：当t₁=1时，不论t₂为何实数，A、B、M三点都共线；
（3）若t₁=a²，求当

OM

⊥

AB

且△ABM的面积为12时，a的值．

Answer 1

分析：（1）由条件求出点M的坐标，利用点M在第二或第三象限的充要条件为横坐标小于0，纵坐标不等于0，得到结果．
（2）由条件求出

AM

 的坐标，证明

AM

 等于一个实数与

AB

的乘积，即

AM

∥

AB

，即证明了A、B、M三点共线．
（3）先求出

AB

的坐标，用点到直线的距离公式求出点M到直线AB的距离，由三角形面积等于12解出a的值．

解答：解：（1）

OM

=t₁

OA

+t₂

AB

=t₁（0，2）+t₂（4，4）=（4t₂，2t₁+4t₂）．
当点M在第二或第三象限时，等价于

4t2＜0 2t1+4t2≠0.

，故所求的充要条件为t₂＜0且t₁+2t₂≠0．
（2）证明：当t₁=1时，由（1）知

OM

=（4t₂，4t₂+2）．
∵

AB

=

OB

-

OA

=（4，4），

AM

=

OM

-

OA

=（4t₂，4t₂）=t₂（4，4）=t₂

AB

，
∴不论t₂为何实数，A、B、M三点共线．
（3）当t₁=a²时，

OM

=（4t₂，4t₂+2a²）． 又∵

AB

=（4，4），

OM

⊥

AB

，
∴4t₂×4+（4t₂+2a²）×4=0，∴t₂=-

1

4

a²，∴

OM

=（-a²，a²）．又∵|

AB

|=4

2

，
点M到直线AB：x-y+2=0的距离d=

|-a2-a2+2|

2

=

2

|a²-1|．
∵S_△ABM=12，∴

1

2

|

AB

|•d=

1

2

×4

2

×

2

|a²-1|=12，解得a=±2，
故所求a的值为±2．

点评：本题考查两个向量坐标形式的运算法则，证明三点共线的方法，向量的模及点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，准确进行坐标运算，是解题的难点和关键．