Question

已知函数f(x)=kx+m，当x∈[a₁，b₁]时，f(x)的值域为[a₂，b₂]，当x∈[a₂，b₂]时，f(x)的值域为[a₃，b₃]，依次类推，一般地，当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f(x)的值域为[a_n，b_n]，其中k，m为常数，且a₁=0，b₁=1，
(Ⅰ)若k=1，求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
(Ⅱ)若m=2，问是否存在常数k＞0，使得数列{b_n}满足？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由；
( Ⅲ)若k＜0，设数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n，求(T₁+T₂+…+ T₂₀₁₀)-(S₁+S₂+…+S₂₀₁₀)。

Answer 1

解：(Ⅰ)因为f(x)=x+m，
当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f(x)为单调增函数，所以其值域为[a_n-1+m，b_n-1+m]，
于是a_n=a_n-1+m，b_n=b_n-1+m(n∈N*，n≥2)，
又a₁=0，b₁=1，
所以a_n=（n-1）m，b_n=1+（n-1）m。 
(Ⅱ)因为f(x)=kx+m(k＞0)，
当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f(x)为单调增函数，
所以f（x）的值域为[ka_n-1+m，kb_n-1+m]，
因m=2，则b_n= kb_n-1+2(n≥2)，
假设存在k＞0，使得数列{b_n}满足，
则，得4=4k+2，则符合。
(Ⅲ)因为k＜0，x∈[a_n-1，b_n-1]时，f(x)为单调减函数，
所以f(x)的值域为[kb_n-1+m，ka_n-1+m]，
于是a_n=kb_n-1+m，bn=ka_n-1+m（n∈N*，n≥2)，
则b_n-a_n=-k(b_n-1-a_n-1)，
又，
则有，
进而有
。