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如图所示,已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C,过点B作两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2于点D、E,DE与AC相交于点P.
(I)求证:AD∥EC;
(II)若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长.
【答案】分析:(I)连接AB,根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D,又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E,等量代换得到∠D=∠E,根据内错角相等得到两直线平行即可;
(II)根据切割线定理得到PA2=PB•PD,求出PB的长,然后再根据相交弦定理得PA•PC=BP•PE,求出PE,再根据切割线定理得AD2=DB•DE=DB•(PB+PE),代入求出即可.
解答:解:(I)证明:连接AB,
∵AC是⊙O1的切线,
∴∠BAC=∠D,
又∵∠BAC=∠E,
∴∠D=∠E,
∴AD∥EC.
(II)∵PA是⊙O1的切线,PD是⊙O1的割线,
∴PA2=PB•PD,
∴62=PB•(PB+9)
∴PB=3,
在⊙O2中由相交弦定理,得PA•PC=BP•PE,
∴PE=4,
∵AD是⊙O2的切线,DE是⊙O2的割线,
∴AD2=DB•DE=9×16,
∴AD=12
点评:此题是一道综合题,要求学生灵活运用直线与圆相切和相交时的性质解决实际问题.本题的突破点是辅助线的连接.
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14、如图所示,已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C,过点B作两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2于点D、E,DE与AC相交于点P.
(I)求证:AD∥EC;
(II)若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长.

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(08年银川一中一模) (10分) 如图所示,已知⊙O1与⊙O2相交于A,B两点,过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C,过点B作两圆的割线,分别交⊙O1,⊙O2于点D,E,DE与AC相交于点P.

   (1)求证:AD∥EC;

   (2)若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长;

 

 

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(1)求证:AD∥EC;

(2)若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长.

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