精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
在△ABC中,已知角A、B、C的对边分别为a、b、c.向量
m
=(cosB,cosC),
n
=(b,2a-c)且向量
m
n
共线.
(Ⅰ)求cosB的值;
(Ⅱ)若b=
3
,求△ABC的面积的最大值.
分析:(Ⅰ)根据平面向量平行满足的条件得到一个关系式,根据正弦定理及两角和的正弦函数公式化简后,即可得到cosC的值.
(Ⅱ)直接利用余弦定理以及基本不等式求出ac的范围,然后求出三角形的面积的最大值.
解答:解:(Ⅰ)向量
m
n
共线,得bcosC=(2a-c)cosB,
∴bcosC+ccosB=2acosB,
由正弦定理,得:sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB,
sin(B+C)=2sinAcosB,
又B+C=π-A,
∴sinA=2sinAcosB,sinA≠0,
cosB=
1
2

(Ⅱ)若b=
3
1
2
=cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+c2-3
2ac

∴ac=a2+c2-3,
∴ac≤3,
∴△ABC的面积S=
1
2
acsinB
=
3
4
ac
3
3
4

三角形面积的最大值为:
3
3
4
点评:此题考查学生灵活运用余弦定理及两角和的正弦函数公式化简求值,灵活运用诱导公式及特殊角的三角函数值化简求值,掌握平面向量平行时满足的条件,是一道中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

在△ABC中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A,B,C成等差数列,且b=
3
c=
2
,则B=
 
,A=
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

在△ABC中,已知角A为锐角,角A、B、C的对边分别为a、b、c,sinA=
2
2
3

(1)求tan2
B+C
2
+sin2
A
2
的值;
(2)若a=2
2
S△ABC=
2
,求b的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

在△ABC中,已知角A、B、C对应的三边分别为a,b,c,满足(a+b+c)(a+b-c)=3ab,则角C的大小等于
π
3
π
3

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

在△ABC中,已知角A,B,C满足2B=A+C,且tanA和tanB是方程x2-λx+λ+1=0的两根,若△ABC的面积为3+
3
,试求△ABC的三边的长.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

在△ABC中,已知角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2+b2-c2=
3
ab

(1)求角C的大小;
(2)如果0<A≤
3
m=2cos2
A
2
-sinB-1
,求实数m的取值范围.

查看答案和解析>>

同步练习册答案