【题目】已知曲线
若,过点
的直线
交曲线
于
两点,且
,求直线
的方程;
若曲线表示圆,且直线
与圆
交于
两点,是否存在实数
,使得以
为直径的圆过原点,若存在,求出实数
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)或
(即
)(2)
【解析】试题分析:(1)根据垂径定理求出圆心到直线距离为1 ,再根据点到直线距离公式求直线的斜率,即得直线方程,(2)先根据曲线
表示圆得实数
取值范围为
.再根据以
为直径的圆过原点得
,利用向量数量积可得
,根据直线方程进一步化简得
,最后联立直线方程与圆方程,结合韦达定理化简得
.
试题解析:解(1) 当时, 曲线C是以
为圆心,2为半径的圆,
若直线的斜率不存在,显然不符,
故可直线为:
,即
.
由题意知,圆心到直线
的距离等于
,
即:
解得或
.故的方程
或
(即
)
(2)由曲线C表示圆,即
,
所以圆心C(1,2),半径,则必有
.
假设存在实数使得以
为直径的圆过原点,则
,设
,
则,由
得
,即
,又
,
故,从而
, 故存在实数
使得以
为直径的圆过原点,
.
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【题目】为研究冬季昼夜温差大小对某反季节大豆新品种发芽率的影响,某农科所记录了5组昼夜温差与100颗种子发芽数,得到如下资料:
组号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
温差 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
发芽数 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
该所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组,用剩下的3组数据求出线性回归方程,再对被选取的2组数据进行检验.
(1)若选取的是第1组与第5组的两组数据,请根据第2组至第4组的数据,求出关于
的线性回归方程
;
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠?
(参考公式:,
)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的离心率为
,椭圆
和抛物线
交于
两点,且直线
恰好通过椭圆
的右焦点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)经过椭圆右焦点的直线
和椭圆
交于
两点,点
在椭圆上,且
,
其中为坐标原点,求直线
的斜率.
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【题目】选修4—4:坐标系与参数方程.
已知曲线的参数方程为
(
为参数),以直角坐标系原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)若直线的极坐标方程为,求直线被曲线
截得的弦长.
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【题目】已知函数在
上有最大值1和最小值0,设
.
(1)求的值;
(2)若不等式在
上有解,求实数
的取值范围;
(3)若方程 (
为自然对数的底数)有三个不同的实数解,求实数
的取值范围.
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【题目】现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,小明同学从中任取3道题解答.
(Ⅰ)求小明同学至少取到1道乙类题的概率;
(Ⅱ)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.若小明同学答对每道甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是
,且各题答对与否相互独立.求小明同学至少答对2道题的概率.
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