Question

16．设椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$的两个焦点为F₁，F₂，M是椭圆上任一动点，则$\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{M{F_2}}$的取值范围为[-2，1]．

Answer 1

分析 由题意可知：焦点坐标为F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），设点M坐标为M（x，y），可得y²=1-$\frac{{x}^{2}}{4}$，$\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{M{F_2}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y）•（$\sqrt{3}$-x，-y）=x²-3+1-$\frac{{x}^{2}}{4}$=$\frac{3{x}^{2}}{4}$-2，则x²∈[0，4]，$\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{M{F_2}}$的取值范围为[-2，1]．

解答 解：如下图所示，在直角坐标系中作出椭圆：
 
由椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，则焦点坐标为F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），
设点M坐标为M（x，y），由$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，可得y²=1-$\frac{{x}^{2}}{4}$；
$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y），$\overrightarrow{M{F}_{2}}$-=（$\sqrt{3}$-x，-y）；
$\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{M{F_2}}$=（-$\sqrt{3}$-x，-y）•（$\sqrt{3}$-x，-y）=x²-3+1-$\frac{{x}^{2}}{4}$=$\frac{3{x}^{2}}{4}$-2，
由题意可知：x∈[-2，2]，则x²∈[0，4]，
∴$\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{M{F_2}}$的取值范围为[-2，1]．
故答案为：[-2，1]．

点评 本题考查椭圆的简单几何性质，考查向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．