Question

4．某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润资料如下表：

商店名称	A	B	C	D	E
销售额x（千万元）	3	5	6	7	9
利润额y（千万元）	2	3	3	4	5

（1）画出散点图；
（2）用最小二乘法计算利润额y对销售额x的线性回归方程；
（3）当销售额为4.8（千万元）时，估计利润额的大小．

Answer 1

分析 （1）根据所给的这一组数据，得到5个点的坐标，把这几个点的坐标在直角坐标系中描出对应的点，得到散点图，从散点图可以看出，这两个两之间是正相关．
（2）根据所给的这组数据，写出利用最小二乘法要用的量的结果，把所求的这些结果代入公式求出线性回归方程的系数，进而求出a的值，写出线性回归方程．
（3）根据上一问做出的线性回归方程，把x=4.8的值代入方程，估计出对应的y的值．

解答 解：（1）根据所给的这一组数据，
得到5个点的坐标（3，2），（5，3），（6，3），（7，4），（9，5），
把这几个点的坐标在直角坐标系中描出对应的点，得到散点图．

（2）$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（3+5+6+7+9）=6，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（2+3+3+4+5）=3.4，$\sum _{i=1}^{5}$x_i²=3²+5²+6²+7²+9²=200，$\sum _{i=1}^{5}$x_iy_i=3×2+5×3+6×3+7×4+9×5=112，
∴$\hat{b}$=$\frac{\sum _{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}-5\overline{x}\overline{y}}{\sum _{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}-5{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{112-5×6×3.4}{200-5×6×6}$=0.5，
$\hat{a}$=$\overline{y}$-$\hat{b}$$\overline{x}$=3.4-0.5×6=0.4
∴回归直线方程为$\hat{y}$=0.5x+0.4；
（3）当x=4.8时，$\hat{y}$=0.5×4.8+0.4=2.8，
∴当销售额为4.8（千万元）时，估计利润额2.8千万元．

点评 本题考查线性回归方程的求法和应用，是一个基础题，这种题目解题的关键是求出最小二乘法所要用到的量，数字的运算不要出错．