Question

如图，F₁、F₂分别是双曲线x²-y²=1的左右焦点，点A的坐标是（

2

2

，-

2

2

），点B在双曲线上，且

F1A

•

AB

=0
（1）求点B的坐标
（2）求证：∠F₁BA=∠F₂BA．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,证明题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设B（m，n），则m²-n²=1，求出双曲线的焦点坐标，向量F₁A，AB的坐标，再由向量垂直的条件：数量积为0，解方程组，可得m，n；
（2）求出直线F₁B，F₂B，AB的斜率，由两直线的到角公式，计算即可得证．

解答： （1）解：设B（m，n），则m²-n²=1，
双曲线x²-y²=1的焦点F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0），
则

F1A

=（

3 2

2

，-

2

2

），

AB

=（m-

2

2

，n+

2

2

），
即有

3 2

2

×（m-

2

2

）-

2

2

×（n+

2

2

）=0，
解得m=

3 2

4

，n=

2

4

．
则B（

3 2

4

，

2

4

）；
（2）证明：由于kF1B=

2 4

3 2 4 + 2

=

1

7

，kF2B=

2 4

3 2 4 - 2

=-1，
k_AB=

2 4 + 2 2

3 2 4 - 2 2

=3，
则F₁B到AB的角的正切为

3- 1 7

1+ 3 7

=2，
AB到F₂B的角的正切为

-1-3

1+(-3)

=2，
则有∠F₁BA=∠F₂BA．

点评：本题双曲线方程和性质，考查平面向量垂直的条件，考查两直线的到角公式，考查运算能力，属于基础题．