Question

国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：

空气质量指数	0-50	51-100	101-150	151-200	201-300	300以上
空气质量等级	1级优	2级良	3级轻度污染	4级中度污染	5级重度污染	6级严重污染

由全国重点城市环境监测网获得2月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用茎叶图表示如图：
（Ⅰ）试根据上面的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系（只需写出结果）；
（Ⅱ）试根据上面的统计数据，估计甲城市某一天空气质量等级为2级良的概率；
（Ⅲ）分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率．
（注：s²=[（x₁-）²+（x₂-）²+…+（x_n-）²]，其中为数据x₁，x₂，…，x_n的平均数．）

Answer 1

解：（Ⅰ）甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差．…（3分）
（Ⅱ）根据上面的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频率为，
则估计甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为．…（6分），
（Ⅲ）设事件A：从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有25个结果，分别记为：
（29，43），（29，41），（29，55），（29，58）（29，78）
（53，43），（53，41），（53，55），（53，58），（53，78），
（57，43），（57，41），（57，55），（57，58），（57，78），
（75，43），（75，41），（75，55），（75，58），（75，78），
（106，43），（106，41），（106，55），（106，58），（106，78）．
其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29，乙41，乙43，同为2级良的为甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78．
则空气质量等级相同的为：
（29，41），（29，43），
（53，55），（53，58），（53，78），
（57，55），（57，58），（57，78），
（75，55），（75，58），（75，78）．共11个结果．
则P（A）=．
所以这两个城市空气质量等级相同的概率为．…（13分）
分析：（Ⅰ）由数据的离散程度可以看出哪个方差较大；
（Ⅱ）根据统计数据，利用古典概型的概率计算公式即可得出；
（Ⅲ）设事件A：从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有25个结果，其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29，乙41，乙43，同为2级良的为甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78．从而得出空气质量等级相同的共11个结果．最后根据概率公式即可求出这两个城市空气质量等级相同的概率．
点评：本题是直接考查茎叶图、列举法计算基本事件数及事件发生的概率，熟练掌握古典概型的概率计算公式、平均数和方差的计算公式及其意义是解题的关键．