Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=4，AD=3，AA₁=2．E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1．
（1）求直线EC₁与FD₁所成角的余弦值；
（2）求二面角C-DE-C₁的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）以A为原点，

AB

，

AD

，

AA1

分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系A-xyz，写出要用的点的坐标，把两条直线对应的点的坐标写出来，根据两个向量之间的夹角表示出异面直线的夹角．
（2）设出平面的法向量的坐标，根据法向量与平面上的向量垂直，利用数量积表示出两个向量的坐标之间的关系，求出平面的一个法向量，根据两个向量之间的夹角求出结果．

解答：解：以A为原点，

AB

，

AD

，

AA1

分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系A-xyz，则有D（0，3，0）、D₁（0，3，2）、E（3，0，0）、F（4，1，0）、C₁（4，3，2）．
于是，

DE

=(3，-3，0)，

EC1

=(1，3，2)，

FD1

=(-4，2，2)．
（1）设EC₁与FD₁所成角为β，则cosβ=|

EC1 • FD1

| EC1 |×| FD1 |

|=|

1×(-4)+3×2+2×2

12+32+22 × (-4)2+22+22

|=

21

14

．
（2）设向量

n

=（x，y，z）与平面C₁DE垂直，则有

n⊥ DE n⊥ EC1

?

3x-3y=0 x+3y+2z=0

?x=y=-

1

2

z．
∴

n

=(-

z

2

，-

z

2

，z)=

z

2

(-1，-1，2)，其中z＞0．
取n₀=（-1，-1，2），则是一个与平面C₁DE垂直的向量．
∵向量

AA1

=（0，0，2）与平面CDE垂直，
∴n₀与

AA1

所成的角θ为二面角C-DE-C₁的平面角．
∵cosθ=

n0• AA1

|n0|×| AA1 |

=

-1×0-1×0+2×2

1+1+4 × 0+0+4

=

6

3

，
∴tanθ=

2

2

．

点评：本题考查用空间向量求平面间的夹角，本题解题的关键是建立适当的坐标系，写出要用的空间向量，把立体几何的理论推导变成数字的运算，这样降低了题目的难度．