Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且 ．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=3，求△ABC的面积最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因为a、b、c成等比数列，则b2=ac．由正弦定理得sin2B=sinAsinC．
又 ，
所以 ．
因为sinB＞0，
则 ．
因为B∈（0，π），
所以B= 或 ．
又b2=ac，则b≤a或b≤c，即b不是△ABC的最大边，
故 ．
（II）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得9=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac，得ac≤9．
所以， ．
当a=c=3时，△ABC的面积最大值为
【解析】（Ⅰ）由正弦定理结合已知可得sin2B=sinAsinC．又 ，结合sinB＞0，可求sinB的值，结合B∈（0，π），即可求得B的大小，又b2=ac，则b≤a或b≤c，即b不是△ABC的最大边，从而可求B的值．（II）由余弦定理结合已知可得ac≤9，由三角形面积公式可得 ，即可求得△ABC的面积最大值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识，掌握正弦定理:，以及对余弦定理的定义的理解，了解余弦定理:;;．