Question

如图，过半径为R的球面上一点P作三条两两垂直的弦PA、PB、PC，

(1)求证：PA²＋PB²＋PC²为定值；

(2)求三棱锥P－ABC的体积的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)设过PA、PB的平面截球得⊙O₁，∵PA⊥PB，

　　∴AB是⊙O₁的直径，连PO₁并延长交⊙O₁于D，则PADB是矩形，PD²＝PA²＋PB²．

　　设O为球心，则OO₁⊥平面⊙O₁，

　　∵PC⊥⊙O₁平面，

　　∴OO₁∥PC，因此过PC、PD的平面经过球心O，截球得大圆，又PC⊥PD．

　　∴CD是球的直径．

　　故PA²＋PB²＋PC²＝PD²＋PC²＝CD²＝4R²定值．

　　(2)设PA、PB、PC的长分别为x、y、z，则三棱锥P－ABC的体积V＝xyz，

　　V²＝x²y²z²≤()³＝·＝R⁶．

　　∴V≤R³．

　　即V_最大＝R³．

　　评析：定值问题可用特殊情况先“探求”，如本题(1)若先考虑PAB是大圆，探求得定值4R²可为(1)的证明指明方向．

　　球面上任一点对球的直径所张的角等于90°，这应记作很重要的性质．

　　解析：先选其中两条弦PA、PB，设其确定的平面截球得⊙O₁，AB是⊙O₁的直径，连PO₁并延长交⊙O₁于D，PADB是矩形，PD²＝AB²＝PA²＋PB²，然后只要证得PC和PD确定是大圆就可以了．