Question

已知：等边△ABC的边长为2，D，E分别是AB，AC的中点，沿DE将△ADE折起，使AD⊥DB，连AB，AC，得如图所示的四棱锥A-BCED．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面ABD；
（Ⅱ）求四棱锥A-BCED的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证AC⊥面ABD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AC与面ABD内两相交直线垂直，而BD⊥AC，AB⊥AC
，BD∩AB=B，满足定理条件；
（Ⅱ）在梯形BCED中，易知S_△CDE：S_△BCD=1：2，V_A-BCD=2V_A-DCE，则VA-BCED=

3

2

VA-BCD，根据体积公式解之即可．

解答：证明：（Ⅰ）连DC，在等边△ABC中有BD⊥CD，
而BD⊥AD，AD∩DC=D∴BD⊥面ADC，又AC?面ADC∴BD⊥AC，（3分）
在△ADB中，AD=DB=1，∠ADB=90°，则AB=

2

，由对称性知，AC=

2

在△ABC中，AB=

2

，AC=

2

，BC=2，则AB⊥AC
又BD∩AB=B，∴AC⊥面ABD；（7分）
（Ⅱ）在梯形BCED中，易知S_△CDE：S_△BCD=1：2
∴V_A-BCD=2V_A-DCE
∴VA-BCED=

3

2

VA-BCD
又VA-BCD=VC-ADB=

1

3

×

1

2

•AD•DB•AC=

1

3

×

1

2

×

2

=

2

6

∴VA-BCED=

3

2

×

2

6

=

2

4

．（14分）

点评：本小题主要考查直线与平面垂直的判定，以及棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．