Question

如图，在五面体中，四边形是正方形，平面∥

（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）证明：平面；
（3）求二面角的正切值。

Answer 1

（1）；（2）略；（3）。

试题分析：（1）因为四边形ADEF是正方形，所以FA∥ED．
故∠CED为异面直线CE与AF所成的角．
因为FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD．故ED⊥CD．
在Rt△CDE中，CD=1，ED=2， CE==3，故cos∠CED==．
所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为。
（2）证明：过点B作BG∥CD，交AD于点G，
则∠BGA=∠CDA=45°．由∠BAD=45°，可得BG⊥AB，
从而CD⊥AB，又CD⊥FA，FA∩AB=A，所以CD⊥平面ABF；
（3）解：由（Ⅱ）及已知，可得AG=，即G为AD的中点．
取EF的中点N，连接GN，则GN⊥EF，
因为BC∥AD，所以BC∥EF．
过点N作NM⊥EF，交BC于M，
则∠GNM为二面角B-EF-A的平面角．
连接GM，可得AD⊥平面GNM，故AD⊥GM．
从而BC⊥GM．由已知，可得GM=．
由NG∥FA，FA⊥GM，得NG⊥GM．
在Rt△NGM中，tan∠GNM=，
所以二面角B-EF-A的正切值为．
点评：中档题，立体几何问题的解法，要牢记“转化与化归思想”，空将间题转化成平面问题.立体几何中的计算问题，要注意遵循“一作，二证，三计算”，避免出现只算不证的错误。