【题目】已知数列的前项和为,且.
(1)求数列的通项公式,并写出推理过程;
(2)令,,试比较与的大小,并给出你的证明.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ),证明见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由题意可根据数列通项与前项和之间的关系来进行求解,即当时,;当时,,这时可得到与的关系式,根据关系式的特点,可通过构造换元,令,从而得出数列是等差数列,先求出数列的通项,再求出数列的通项;(Ⅱ)根据数列的特点可利用错位相减法求出,接着利用作差法进行比较,根据差式的特点这里可采用数学归纳法进行猜想证明,详见解析.
试题解析:(Ⅰ)在中,令,可得,即,
当时,,∴,
∴,即,
设,则,即当时,,
又,∴数列是首项和公差均为1的等差数列.
于是,∴
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,
所以,
由①-②,
得
∴,则
于是只要比较与的大小即可,
(1)当时,,此时,即,
(2)猜想:当时,,下面用数学归纳法证明:
①当时,不等式成立;②假设时,不等式成立,即;
则当时,,
所以当时,不等式成立,
由①和②可知,当时,成立,
于是,当时,,即.
另证:要证,只要证:,只要证:,
由均值不等式得:,
所以,于是当时,,即.
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【题目】已知椭圆C的两个焦点分别为,且椭圆C过点P(3,2).
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)与直线OP平行的直线交椭圆C于A,B两点,求△PAB面积的最大值.
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【题目】为选拔参加“全市高中数学竞赛”的选手,某中学举行了一次“数学竞赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为分)作为样本(样本容量为)进行统计.按照的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在的数据).
(1)求样本容和频率分布直方图中的值并求出抽取学生的平均分;
(2)在选取的样本中,从竞赛成绩在分以上(含分)的学生中随机抽取名学生参加“全市中数学竞赛”求所抽取的名学生中至少有一人得分在内的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,某城市有一块半径为40 m的半圆形绿化区域(以O 为圆心,AB为直径),现计划对其进行改建.在AB的延长线上取点D,OD=80 m,在半圆上选定一点C,改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成,其面积为S m2.设∠AOC=x rad.
(1)写出S关于x的函数关系式S(x),并指出x的取值范围;
(2)试问∠AOC多大时,改建后的绿化区域面积S取得最大值.
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【题目】某中学将100名高二文科生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”,每班50人.陈老师采用A,B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教改实验.为了了解教学效果,期末考试后,陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析,画出频率分布直方图(如下图).记成绩不低于90分者为“成绩优秀”.
(Ⅰ)根据频率分布直方图填写下面2×2列联表;
甲班(A方式) | 乙班(B方式) | 总计 | |
成绩优秀 | |||
成绩不优秀 | |||
总计 |
(Ⅱ)判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为:“成绩优秀”与教学方式有关?
附:.
P(K2≥k) | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 |
k | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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【题目】如图,已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M,N两点,Q是MN的中点,直线l与l1相交于点P.
(1)求圆A的方程;
(2)当|MN|=2时,求直线l的方程.
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