Question

11．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=2，B=2A，则c的取值范围是（$\sqrt{2}$，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．

Answer 1

分析 由条件求得即$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{4}$，再根据正弦定理求得c=$\frac{2sin3A}{sin2A}$=4cosA-$\frac{1}{cosA}$，显然c在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）上是减函数，由此求得c的范围．

解答 解：锐角△ABC中，∵B=2A＜$\frac{π}{2}$，∴A＜$\frac{π}{4}$．
再根据C=π-3A＜$\frac{π}{2}$，可得A＞$\frac{π}{6}$，即$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{4}$，
再根据正弦定理可得$\frac{b}{sinB}$=$\frac{2}{sin2A}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{c}{sin3A}$，
求得c=$\frac{2sin3A}{sin2A}$=$\frac{3-{4sin}^{2}A}{cosA}$=$\frac{{4cos}^{2}A-1}{cosA}$=4cosA-$\frac{1}{cosA}$ 在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）上是减函数，
故c∈（$\sqrt{2}$，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
故答案为：（$\sqrt{2}$，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题主要考查三角形的内角和公式、正弦定理，函数的单调性的应用，属于中档题．