Question

【题目】如图，三棱柱ABC-A1B1Cl中，M，N分别为CC1，A1B1的中点．

(I)证明：直线MN／/平面CAB1；

(II)BA=BC=BB1，CA=CB1，CA⊥CB1，∠ABB1=60°，求平面AB1C和平面A1B1C1所成的角(锐角)的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）解析（2）

【解析】试题分析:（1）设与交于点，根据平几知识可得四边形是平行四边形，即有.再根据线面平行判定定理可得直线平面.（2）求二面角，一般利用空间向量进行求解，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系求解

试题解析：证明：（Ⅰ）

设与交于点，连接，

因为四边形是平行四边形，所以是是的中点，

是的中点，所以.

又因为是的中点，所以.

所以，所以四边形是平行四边形，

所以.

又因为平面， 平面，

所以直线平面.

（Ⅱ）因为，所以平行四边形是菱形，所以.

又因为，所以.

又且是的中点，所以.又因为，所以≌，

所以，故，从而两两垂直.

以为坐标原点， 所在直线分别为轴建立如图空间直角坐标系，

设，因为， ，

所以是等边三角形，所以， ， ， .

因为两两垂直，所以平面，

所以是平面的一个法向量；

设 是平面的一个法向量，则，即，令,得，所以 ，

所以

所以平面和平面所成的角（锐角）的余弦值为