Question

已知直线l₁：x=my与抛物线C：y²=4x交于O（坐标原点），A两点，直线l₂：x=my+m与抛物线C交于B，D两点．
（Ⅰ）若|BD|=2|OA|，求实数m的值；
（Ⅱ）过A，B，D分别作y轴的垂线，垂足分别为A₁，B₁，D₁．记S₁，S₂分别为三角形OAA₁和四边形BB₁D₁D的面积，求

S1

S2

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）首先设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），代入直线和抛物线的方程，由△＞0，得m＜-1或m＞0；然后根据

x=my y2=4x

，可得y²-4my=0，所以y=0或4m，故A （4m²，4m）；最后根据|BD|=2|OA|，可得（1+m²）（y₁-y₂）²=4（16m⁴+16m²），而 （y₁-y₂）²=16m²+16m，求出实数m的值即可；
（Ⅱ）首先求出

S12

S22

的表达式，令

1

m

=t，因为m＜-1或m＞0，所以-1＜t＜0或t＞0，然后求出

S12

S22

的取值范围，进而求出

S1

S2

的取值范围即可．

解答： 解：（Ⅰ）设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由

x=my+m y2=4x

，
可得y²-4my-4m=0，
由△＞0，得m＜-1或m＞0，
且y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4m；
又因为

x=my y2=4x

，
可得y²-4my=0，所以y=0或4m，
故A （4m²，4m），
由|BD|=2|OA|，可得（1+m²）（y₁-y₂）²=4（16m⁴+16m²），
而 （y₁-y₂）²=16m²+16m，故m=

1

3

；    
（Ⅱ）由（Ⅰ）得x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2m=4m²+2m，
所以

S12

S22

=

42m2•42m4

(x1+x2)2(y1-y2)2

=

82m2m4

(4m2+2m)2(4m2+4m)

=

4m3

(m+1)(2m+1)2

=

4

(1+ 1 m )(2+ 1 m )2

，
令

1

m

=t，
因为m＜-1或m＞0，所以-1＜t＜0或t＞0，
故

S12

S22

=

4

(1+t)(2+t)2

，
所以0＜

S12

S22

＜1或

S12

S22

＞1，
即0＜

S1

S2

＜1或

S1

S2

＞1，
所以

S1

S2

的取值范围是（0，1）∪（1，+∞）．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了抛物线性质的运用，属于中档题．