Question

已知函数f(x)=2

3

sin(x+

π

4

)cos(x+

π

4

)-sin(2x+π)．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若将f（x）的图象向右平移

π

3

个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，

π

2

)上的最大值和最小值，并求出相应的x的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的倍角公式和诱导公式化简函数f（x），然后直接由周期公式求周期；
（2）通过函数的图象的平移求解函数g（x）的解析式为g（x）=2sin(2x-

π

3

)，由x的范围求出2x-

π

3

的范围，从而求得函数g（x）的最值，并得到相应的x的值．

解答：解：（1）由f(x)=2

3

sin(x+

π

4

)cos(x+

π

4

)-sin(2x+π)，得
f(x)=

3

sin(2x+

π

2

)+sin2x=

3

cos2x+sin2x=2sin(2x+

π

3

)．
∴f（x）的最小正周期为π；
（2）∵将f（x）的图象向右平移

π

3

个单位，得到函数g（x）的图象，
∴g(x)=f(x-

π

3

)=2sin[2(x-

π

3

)+

π

3

]=2sin(2x-

π

3

)．
∵x∈[0，

π

2

）时，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

)，
∴当2x-

π

3

=

π

2

，即x=

5π

12

时，g（x）取得最大值2；
当2x-

π

3

=-

π

3

，即x=0时，g（x）取得最小值-

3

．

点评：本题考查了三角函数的倍角公式及诱导公式，考查了三角函数的图象平移，训练了三角函数的最值得求法，是中档题．