Question

【题目】已知经过点A（﹣4，0）的动直线l与抛物线G：x2=2py（p＞0）相交于B、C，当直线l的斜率是 时， ． （Ⅰ）求抛物线G的方程；
（Ⅱ）设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）直线l的斜率是 时，直线BC的方程为：x=2y﹣4，设B（x1 ， y1），C（x2 ， y2）， ，整理得：2y2﹣（8+p）y+8=0，
由韦达定理可知：y1+y2= ，y1y2=4，
由 ．则y1=4y2 ，
由p＞0，解得：y1=1，y2=4，
∴p=2，
∴抛物线G：x2=4y；
（Ⅱ）设l：y=k（x+4），BC中点坐标为（x0 ， y0）
由 ，整理得：x2﹣4kx﹣16k=0，
∴由韦达定理可知：x1+x2=2k，则x0= =2k．则y0=k（x0+4）=2k2+4k，
∴BC的中垂线方程为y﹣（2k2+4k）=﹣ （x﹣2k），
∴BC的中垂线在y轴上的截距为：b=2k2+4k+2=2（k+1）2 ，
对于方程由△=16k2+64k＞0，解得：k＞0或k＜﹣4．
∴b的取值范围（2，+∞）
【解析】（1）设出B，C的坐标，利用点斜式求得直线l的方程，与抛物线方程联立消去x，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2 ， 由 ．根据求得y2=4y1 ， 最后联立方程求得y1 ， y2和p，则抛物线的方程可得．（2）设直线l的方程，AB中点坐标，把直线与抛物线方程联立，利用判别式求得k的范围，利用韦达定理表示出x1+x2 ， 进而求得x0 ， 利用直线方程求得y0 ， 进而可表示出AB的中垂线的方程，求得其在y轴上的截距，根据k的范围确定b的范围．