Question

已知（m为常数，m>0且m≠1）．
设（n∈^?）是首项为m²，公比为m的等比数列．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若，且数列的前n项和为S_n，当m＝2时，求S_n；
（3）若，问是否存在m，使得数列中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

.解：（1）由题意f（a_n）＝，即．
∴a_n＝n＋1，（2分）      ∴a_n＋1－a_n＝1，
∴数列{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列．（4分）
（2）由题意＝（n＋1）·mⁿ⁺¹，
当m＝2时，b_n＝（n＋1）·2^n＋1
∴S_n＝2·2²＋3·2³＋4·2⁴＋…＋（n＋1）·2^n＋1　①（6分）
①式两端同乘以2，得
2S_n＝2·2³＋3·2⁴＋4·2⁵＋…＋n·2^n＋1＋（n＋1）·2^n＋2　②
②－①并整理，得
S_n＝－2·2²－2³－2⁴－2⁵－…－2^n＋1＋（n＋1）·2^n＋2
＝－2²－（2²＋2³＋2⁴＋…＋2^n＋1）＋（n＋1）·2^n＋2
＝－2²－＋（n＋1）·2^n＋2
＝－2²＋2²（1－2ⁿ）＋（n＋1）·2^n＋2＝2^n＋2·n．（9分）
（3）由题意＝mⁿ⁺¹·lgmⁿ⁺¹＝（n＋1）·mⁿ⁺¹·lgm，
要使c_n<c_n+1对一切n∈N^*成立，
即（n＋1）·mⁿ⁺¹·lgm<（n＋2）·mⁿ⁺²·lgm，对一切n∈N^*成立，
①当m>1时，lgm>0，所以n＋1<m（n＋2）对一切n∈N^*恒成立；
（11分）
②当0<m<1时，lgm<0，所以等价使得>m对一切n∈N^*成立，
因为＝1－的最小值为，所以0<m<．
综上，当0<m<或m>1时，数列{c_n}中每一项恒小于它后面的项．
（14分）

略