Question

（2008•临沂二模）某精密配件厂准备生产甲、乙、丙三件不同的精密配件，制作过程都必须先后经过两次打磨，当第一次打磨合格后方可进入第二次打磨，两次打磨过程相互独立．据该厂现有的技术水平，经过一次打磨后，甲、乙、丙三件配件合格的概率依次为0.5，0.4，p；经过第二次打磨后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.75，0.5．若第一次打磨后恰有一件产品合格的概率为0.38．
（I）求p的值；
（Ⅱ）若经过前后两次打磨后，不合格配件的个数为ξ，求随机变量ξ的期望．

Answer 1

分析：（I）记甲、乙、丙经过第一次打磨后合格为事件A₁、A₂、A₃．设E表示第一次打磨后恰有一件合格，P(E)=P(A1•

.

A2

•

.

A3

)+P(

.

A1

•A2•

.

A3

)+P(

.

A1

•

.

A2

•A3)，代入数据计算可得；（II）解法一：分别求ξ=0，1，2，3时的概率，由期望的定义可得；解法二：可得ξ～B（3，0.7），故Eξ=np，计算可得．

解答：解：（I）分别记甲、乙、丙经过第一次打磨后合格为事件A₁、A₂、A₃．
设E表示第一次打磨后恰有一件合格，则P（E）=0.38
∴P(E)=P(A1•

.

A2

•

.

A3

)+P(

.

A1

•A2•

.

A3

)+P(

.

A1

•

.

A2

•A3)…（4分）
∴0.5×0.6×（1-p）+0.5×0.4×（1-p）+0.5×0.6×p=0.38，
解得p=0.6．…（6分）
（II）解法一：分别记甲、乙、丙经过两次打磨后合格为事件A、B、C
则P（A）=0.3，P（B）=0.3，P（C）=0.3…（8分）
∴

P(ξ=0)=0．33=0.027

，

P(ξ=1)=3×0．32×0.7=0.189

，

P(ξ=2)=3×0．72×0.3=0.441

，

P(ξ=3)=0．73=0.343

，
∴Eξ=1×0.189+2×0.441+3×0.343=2.1．…（12分）
解法二：因为每件产品经过两次打磨后合格的概率均是0.3，…（8分）
即两次打磨后不合格的概率均为0.7…（10分）
故ξ～B（3，0.7），故Eξ=np=3×0.7=2.1…（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的期望的求解，涉及相互独立事件的概率公式，属中档题．